pytorch中的log_softmax

考研高数公式合集

考研的过程中数学公式往往是最难记忆的，特别是当不能通过简单的推理得到答案的时候，所以这里我列出了一些比较难记/重要的公式，方便查看。

重要不定积分

$$
\begin{gather}
\LARGE \int_{-\infty}^\infty{e^{-x^2}dx}=\sqrt{\pi}\\
\LARGE \int_0^\frac{\pi}2f(sinx)=\int_0^\frac{\pi}2f(cosx)\\
\LARGE \int_0^\frac{\pi}2\frac{sin^px}{sin^px+cos^px}=\frac{\pi}4
\end{gather}
$$

参数方程表示的函数求导

对于
$$
\begin{cases}
\LARGE x=x(t)\\
\LARGE y=y(t)
\end{cases}
$$
则：

$$
\begin{gather}
\Huge \frac{dy}{dx}=\Huge\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\\
\Huge \frac{d^2y}{dx^2}=\Huge\frac{\frac{d^2y}{dt^2}\frac{dx}{dt}-\frac{d^2x}{dt^2}\frac{dy}{dt}}{(\frac{dx}{dt})^3}
\end{gather}
$$

泰勒展开

基本公式
$$
\Large f(x)=f(x_0)+f^{‘}(x_0)(x-x_0)+…+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{R_n(x)}{o(x^n)}
$$

重要公式

$$
\begin{gather}
\LARGE e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+…+\frac{x^n}{n!}\\
\LARGE ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+…+\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n\\
\LARGE sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+…+\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}x^{2n+1}\\
\LARGE cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+…+\frac{(-1)^{n-1}}{2n-2}x^{2n-2}\\
\LARGE tanx=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+…+\frac{x^{2n-1}}{2n-1}\\
\LARGE arctanx=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+…+\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}x^{2n-1}\\
\Large (1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+…+\frac{a(a-1)…(a-n+1)}{n!}x^n
\end{gather}
$$
在所有的公式中$R_n(x)$为拉格朗日余项，多用于证明题
$$
\begin{gather}
\LARGE R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\\
\LARGE \xi=\theta x
\end{gather}
$$

曲率公式

前提：$y=f(x)$是光滑的曲线，参数方程表示为：
$$
\begin{cases}
\LARGE x=x(t)\\
\LARGE y=y(t)
\end{cases}
$$

弧微分

$$
\begin{gather}
\Large ds=\sqrt{1+(y’)^2}\\
\Large ds=\sqrt{(x’)^2+(y’)^2}
\end{gather}
$$

曲率

$$
\begin{gather}
\LARGE k=\frac{|y’’|}{(1+(y’)^2)^{\frac{3}{2}}}\\
\LARGE k=\frac{|x’y’’-x’’y’|}{((x’)^2+(y’)^2)^{\frac{3}{2}}}
\end{gather}
$$

曲率半径

$$
\Large R=\frac{1}{k}
$$

{曲率圆

法线凹向取一点D，使得$|MD|=R$

向量代数与空间解析几何

向量代数和空间解析几何在高中已经有所接触，所以基础知识会非常简单，而且这个章节的重点是各种定理的运用，只需要记好公式即可。若是能力较强则可以在理解的基础上帮助记忆，以免考试的时候忘记。

角度

$$
\begin{gather}
\Large \vec{OM}=(x, y, z)\\
\Large cos\alpha=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\
\Large cos\beta=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\
\Large cos\gamma=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\
\Large cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma=1
\end{gather}
$$

向量积

这里仅需注意在做叉乘的时候$\vec{j}$前面是正号（除非系数是负数）

平面方程与法向量

$$
\begin{gather}
\Large A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\
\Large \vec{s}=(A,B,C)
\end{gather}
$$

点到直线的距离

$$
\Large d=\frac{|(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\times(l,m,n)|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}
$$

空间曲面

空间曲面的基本方程是$F(x,y,z)=0$

旋转曲面

由一条直线绕轴旋转一周形成的曲面

1. 若有$f(y,z)$绕z轴旋转，则曲面方程为$f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0$
   

2. $$
   \large L:
   \begin{cases}
   x&=&x(t)\\
   y&=&y(t)\\
   z&=&z(t)
   \end{cases}
   \implies
   \begin{cases}
   x^2+y^2=x^2(t)+y^2(t)\\
   z=z(t)
   \end{cases}
   \implies
   \text{消去t}
   $$

常见二次曲面

$$
\Large\begin{align}
&\text{椭球面}&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}&=1\\
&\text{旋转抛物面}&\frac{x^2}{2p}+\frac{y^2}{2p}&=z\\
&\text{椭圆抛物面}&\frac{x^2}{2p}+\frac{y^2}{2q}&=z\quad\text{(pq>0)}\\
&\text{双曲抛物面}&-\frac{x^2}{2p}+\frac{y^2}{2q}&=z\quad\text{(pq>0)}\\
&\text{单叶双曲面}&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}&=1\\
&\text{双叶双曲面}&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}&=-1\\
&\text{二次锥面}&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}&=0\\
&\text{椭圆柱面}&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}&=1\\
&\text{双曲柱面}&\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}&=1\\
&\text{抛物柱面}&\frac{x^2}{2p}&=y\quad\text{(p>0)}
\end{align}
$$

曲线曲面积分

第一类曲线积分

第一类曲线积分是对弧长积分，可以表示为$\int_cf(x, y)ds$，特别的，当$f(x,y)=1$时，$\int_cds=s$（s为曲线c的弧长）

计算方法

1. $\large\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}\qquad(\alpha\le t\le\beta)\qquad((x’(t))^2+(y’(t))^2\ne0)$
   $$
   \large \int_cf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t))\sqrt{(x’(t))^2+(y’(t))^2}dt
   $$

2. $\large y=y(x)\qquad(a\le x\le b)$
   $$
   \large \int_cf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f(x,y(x))\sqrt{1+(y’)^2}dt
   $$

3. $\large r=r(\theta)\qquad (\alpha\le\theta\le\beta)$
   $$
   \large \int_cf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f(r(\theta)cos\theta,r(\theta)sin\theta)\sqrt{(r(\theta))^2+(r’(\theta))^2}d\theta
   $$

微分方程

一阶线性微分方程

形式：
$$
\Large y’+p(x)y=q(x)
$$
通解：
$$
\Large y=e^{-\int p(x)dx}(\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+c)
$$

可降阶微分方程

1. $$
   \Large y^{(n)}=f(x)\
   \Large y=\int \int…\int f(x)dx…dxdx+\sum C_ix^{n-i}
   $$

2. $$
   \Large y^n=f(x, y’)\
   \Large p=y’\Rightarrow y’’=p’\
   \Large p’=f(x, p)
   $$

3. $$
   \Large y’’=f(y, y’)\
   \Large p=y’\Rightarrow y’’=p\frac{dp}{dy}
   $$

二阶常系数齐次线性微分方程

形式：$\large y’’+py’+qy=0$

通解：

特征方程的根	通解
$\large r1\ne r2$	$\Large y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
$\large r1=r2=r$	$\Large y=(C_1+C_2x)e^{rx}$
$\large r=\alpha \pm\beta i$	$\Large y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)$

二阶常系数非齐次线性微分方程

形式：$\large y’’+py’+qy=f(x)$

特解：

1. 若$\large f(x)=e^{\lambda x}P_n(x)$
   $$
   \begin{gather}
   \large y^*=x^ke^{\lambda x}Q_n(x)\\[3ex]\\
   \large k=
   \begin{cases}
   0&\lambda\ne r1\quad and\quad\lambda\ne r2\\[2ex]
   1&\lambda=r1\quad or\quad\lambda=r2\\[2ex]
   2&\lambda=r1=r2
   \end{cases}
   \end{gather}
   $$

2. 若$\large f(x)=e^{\alpha x}(P_n(x)cos\beta x+Q_n(x)sin\beta x)$
   $$
   \begin{gather}
   \large y^*=x^ke^{\alpha x}(R_l(x)cos\beta x+S_l(x)sin\beta x)\quad(l=min(n,m))\\[3ex]
   \large k=
   \begin{cases}
   0&\alpha\pm\beta i\ne r1\quad and\quad\alpha\pm\beta i\ne r2\\[2ex]
   1&\alpha\pm\beta i=r1\quad or\quad\alpha\pm\beta i=r2
   \end{cases}
   \end{gather}
   $$